ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ СЕЧЕНИЙ

Основное правило. Во многих случаях при изучении фракталов важно знать размерности линейных и плоских сечений. Основное наблюдение здесь (мы воспользовались им в главе 10 для того, чтобы показать, что размерность турбулентности D>2) касается сечения плоской фрактальной фигуры интервалом, «независимым от фрактала». Оказывается, если сечение непусто, то его размерность «почти наверняка» составляет величину D?1.

Соответствующее значение для пространственного случая D?2.

Исключения. К сожалению, этот результат весьма сложно проиллюстрировать, имея дело с неслучайными фракталами, обладающими осями симметрии. Интервалы, на которые мы первым делом обращаем внимание, параллельны этим осям и, как следствие, нетипичны, а почти любое простое сечение каким-либо другим интервалом принадлежит исключительному множеству, к которому общее правило не применимо.

Возьмем, например, ковер Серпинского, троичную губку Менгера и троичную пену. Значение D?1, которое почти наверняка должно оказаться размерностью сечения плоской фигуры отрезком, будет, соответственно, равно:

ln(8/3)/ln3

ln(20/9)/ln3 и

ln(26/9)/ln3.

Обозначим через х абсциссу интервала, параллельного оси у ковра Серпинского. Если число x, записанное в троичной системе счисления, оканчивается на бесконечную последовательность нулей и двоек, то сечения сами представляют собой интервалы, а значит D=1 — больше, чем мы ожидали. Если же х оканчивается на бесконечную последовательность единиц, то сечения являются пылевидными канторовыми множествами с размерностью D=ln2/ln3, которая слишком мала. А если x оканчивается периодической последовательностью периода M, включающей в себя pM единиц и (1?p)M нулей или двоек, то размерность сечений имеет вид D=p(ln2/ln3)+(1?p). Ожидаемое значение D получается лишь при p~0,29. < То же верно и в случае случайной последовательности цифр в троичной записи числа x. ? Таким образом, мы получаем три различных размерности — наибольшую, наименьшую и среднюю.

Очень похожие результаты получаются и в пространственном случае.

Что касается салфетки Серпинского, ее наиболее вероятная размерность D=ln(3/2)/ln2, однако значения размерности «естественных» сечений варьируются от 1 до 0. Например, если короткий интервал, проходящий через середину одной из сторон салфетки, достаточно близок к перпендикуляру, то его пересечением с салфеткой будет одна-единственная точка (размерность сечения D=0).

Разнообразие этих особых сечений отчасти объясняется регулярностью исходных фигур. С другой стороны, наиболее экономичное сечение (причем необязательно прямой линией) неизбежно является основой понятий топологической размерности и степени ветвления, к которым мы сейчас и переходим.