8. РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ДРОБНОГО ИНТЕГРО – ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Для преобразования броуновской функции из прямой в прямую B(t) в дробную функцию BH(t) проще всего записать
BH(t)=[?(H+?)]?1???t(t?s)H??dB(s).
Этот интеграл расходится, однако приращения вида BH(t)?BH(0) являются сходящимися. Он представляет собой подвижное среднее ядра (t?s)H?? - классическое, хотя и несколько туманное преобразование, известное адептам чистой математики под именем дробного интеграла или дифференциала Римана – Лиувилля порядка H+?.
Эвристика. Идея отсутствия необходимости в целочисленном порядке интегрирования и / или / дифференцирования наиболее доходчиво объясняется в терминах спектрального анализа. В самом деле, обычное интегрирование некоторой периодической функции эквивалентно умножению коэффициентов Фурье этой функции на 1/n, а обычное интегрирование Фурье (если оно определено) на 1/f. Следовательно, операция, при которой преобразование Фурье умножается на дробную степень (1/f)H+? , может быть с полным правом названа дробным интегро - дифференцированием. Так как спектр белого шума имеет вид f?0, спектр функции BH(t) можно записать в виде (1/f)2(H+?)=f?2H?1 (как и было заявлено).
Литература. Преобразование Римана – Лиувилля применяется и во многих других, самых разнообразных, областях (см. [616], II, с. 133, [456], [503], [291]). О менее известном приложении этого преобразования к теории вероятности (с отсылками к Колмогорову [275]) можно прочесть в [404].
Влияние на гладкость. Когда порядок H?? преобразования Римана – Лиувилля положителен, оно представляет собой дробную форму интегрирования, поскольку увеличивает гладкость функции. Гладкость равнозначна локальной персистентности, однако гладкость, полученная посредством интегрирования, распространяется и на глобальные свойства функции. При H??<0 преобразование Римана – Лиувилля представляет собой дробную форму дифференцирования, поскольку оно усиливает иррегулярность, которая зависит от локального поведения.
Дробное интегро – дифференцирование броуновских функций. В случае дробной броуновской функции из окружности в прямую параметр H сверху не ограничен. Дробное интегрирование порядка H??>? броуновской функции из окружности в прямую дает дифференцируемую функцию. Напротив, в случае броуновских функций из прямой в прямую порядок H?? не может превышать ?, поэтому функция BH(t) не является дифференцируемой.
И в тех, и в других броуновских функциях (из окружности в прямую и из прямой в прямую) локальная иррегулярность препятствует дифференцированию при значении параметра H<0, следовательно, порядок дифференцирования не может быть меньше ??.
Двустороннее обобщение дробного интегро – дифференцирования. То обстоятельство, что классическое определение Римана – Лиувилля сильно асимметрично по отношению к переменной t, не вызывает никаких сложностей до тех пор, пока t обозначает время. Однако для тех случаев, когда координата t может «распространяться» в обоих направлениях, необходимо симметричное определение. Я предлагаю следующее:
BH(t)=[?(H+?)]?1???t(t?s)H??dB(s)?t??(t?s)H??dB(s).