4. БЕЗИКОВИЧ И ТЕЙЛОР. БОЙД

Из главы 8 нам известно, что в том случае, когда пространство ? представляет собой интервал [0,1] или вещественную прямую, пыль S полностью определяется своим дополнением, т.е. объединением максимальных открытых интервалов или пустот (в некоторых построениях все пустоты являются тремами).

Троичная канторова пыль C на интервале [0,1]. Длины пустот составляют в сумме единицу и следуют гиперболическому распределению P(U>u)=Fu^?D. Следовательно, порядок длины ?_n n - й пустоты (в порядке уменьшения размера) равен n^?1/D.

Обобщенные линейные множества нулевой меры Лебега. Поведение длины ?_n при n?? рассмотрено в работе Безиковича и Телора [29]. Существует некоторый вещественный показатель D_BT, такой, что ряд ??_n^d сходится при d>D_BT (в частности, сходится к 1 при d=1). Таким образом, D_BT представляет собой инфимум вещественных чисел d, при которых ??_n^d<?. Можно показать, что D_BT?D. Хокс (см. [204], с. 707) доказывает, что величина D_BT совпадает с верхней энтропийной размерностью, причем иногда легче поддается оценке.

Предостережение. Если S не является множеством нулевой меры, показатель D_BT не является размерностью. Этот показатель сродни показателю, описанному в главе 15, и показателю ? из главы 17.

Показатель аполлониевой упаковки. У показателя D_BT имеется аналог в случае аполлониевой упаковки (см. главу 18). Он был введен в 1966 г. З. А. Мельзаком, а Бойд [51] показывает, что этот показатель представляет собой (как и предполагалось) размерность Хаусдорфа – Безиковича остаточного множества.