ФРАКТАЛЬНЫЕ ДЕРЕВЬЯ, ОСТАТОЧНЫЕ ЧЛЕНЫ КОТОРЫХ ПРЕДСТАВЛЯЮТ СОБОЙ ИНТЕРВАЛЫ

На рис. 223 представлены зонтичные деревья с бесконечно тонкими стволами. К жизни они совершенно не приспособлены, и в главе 17 мы постараемся несколько увеличить их адекватность в качестве моделей реальных растений. И все же даже эти «остовы» деревьев представляют большой интерес для многих областей математики. Топологу все они показались бы одинаковыми, так как, на его взгляд, любое дерево состоит из бесконечно упругих нитей, и наши деревья также можно растягивать, или сжимать до тех пор, пока они не совпадут друг с другом. Однако эти деревья все-таки различаются и сточки зрения здравого смысла, и как фракталы.

Концы ветвей. Дерево представляет собой сумму двух множеств (ветвей и концов ветвей), размерности которых уживаются друг с другом очень интересным способом. Более простой для изучения частью дерева является множество концов ветвей – фрактальная пыль, похожая на многие другие известные нам пылевидные множества. Она масштабно-инвариантна: N=2, а r лежит в интервале между 1/?2и 0. Следовательно, D варьируется от 2 до 0, хотя фигуры на рисунке имеют размерность D от 1 до 2. Угол между ветвями принимает при каждом разветвлении одно и то же значение ?; это значение может изменяться в довольно широких пределах, никак не влияя на r и D. То есть одна и та же размерность D может характеризовать весьма различные древесные формы.

Когда 1<D<2, деревья самопересекаются при ?<?_крит, следовательно, если мы хотим обойтись без самопересечений, то выбор доступных значений ? сужается. Деревья на рис. 223 удовлетворяют условию ?=?_крит, однако мы начнем с предположения, что ?=?_крит+?.

Деревья. На первый взгляд, деревья на рисунке кажутся самоподобными, поскольку каждая ветвь вместе с произрастающими из нее меньшими ветвями является уменьшенной копией целого. Однако на самом деле две ветви, выходящие из главного разветвления, не дают в сумме целого: необходимо прибавить сюда и остаток, т. е. ствол дерева. Даже с точки зрения здравого смысла, таким остатком никак нельзя пренебречь. Более того, люди, как правило, придают большее значение стволам и ветвям деревьев, нежели концам ветвей. Если верить интуиции, ветви «господствуют» над своими концами.

Кроме того, независимо от значения D, концы ветвей дерева без самопересечений образуют пыль с размерностью D_T=0, а ветви (неважно, с включенными концами или нет) – кривую с размерностью D_T=1. Следовательно, топологически ветви господствуют-таки над своими концами. В самом деле, чтобы отделить от множества точку P и ее окрестность, необходимо удалить либо одну (если P - конец ветви), либо две (если P принадлежит внутренней части ветви), либо три точки (если P - точка ветвления).

Перейдем к фрактальному аспекту. Размерность множества концов ветвей D, а размерность каждой ветви 1. Что касается целого, то оно, не будучи масштабно-инвариантным, все же характеризуется фрактальной размерностью, определяемой по формуле Хаусдорфа – Безиковича, причем эта размерность не может быть ни меньше D, ни меньше 1, а на деле оказывается равной большей из двух величин. Рассмотрим каждый из случаев отдельно.

Фрактальные деревья. Когда D>1, фрактальная размерность всего дерева равна D. Несмотря на то, что ветви доминируют в конструкции как с точки зрения здравого смысла, так и топологически, во фрактальном смысле ими можно пренебречь. Так как D>D_T, дерево представляет собой фрактальное множество, в котором величина D служит мерой ветвления. Таким образом, нам открывается еще одна грань фрактальной размерности в добавление к ее способности выступать качестве меры иррегулярности и фрагментации. Когда мы перейдем в главе 17 к не нитевидным деревьям, мы обнаружим, что гладкая поверхность с достаточным количеством острых локализованных «выступов» может оказаться чем-то «б?льшим», чем стандартная поверхность.

Субфрактальные деревья. В случае 0<D<1 линейная мера (совокупная длина) всего дерева конечна и положительна, так что его фрактальная размерность неизбежно равна 1. Следовательно, D=D_T, т. е. такое дерево не является фрактальным.

Тем не менее, если подобрать единицы измерения таким образом, чтобы длина ствола составила 1?2r, то ветви (рассматриваемые как открытые интервалы) можно будет разместить вдоль пустот линейной канторовой пыли C, которая занимает интервал [0,1] и характеризуется теми же значениями N=2 и r, что и множество концов ветвей. Аналогичным образом, на множестве C можно разместить и сами концы ветвей. Получается, что интервал [0,1] целиком заполняется отображениями точек нашего дерева. Не отображаются только те точки, на которых держатся ветви. Эти точки образуют счетное остаточное множество.

Вспомним о замечании, сделанном нами по поводу чертовой лестницы на рис. 125 – ее форма необычна, но фракталом она не является. Если важность этих форм будет возрастать и далее, им может понадобиться особое и тщательно выбранное название. Пока же остановимся на субфракталах.

В качестве последнего эксперимента заменим прямолинейные ветви фрактальными кривыми с размерностью D^*>1. Когда D<D^*, фрактальные свойства дерева определяются ветвями, а все дерево целиком представляет собой фрактал с размерностью D^*. В случае же D>D^* наше дерево будет фракталом с размерностью D.