РАЗМЕРНОСТЬ ФУРЬЕ И ЭВРИСТИКА

Пусть ?(x) - некоторая неубывающая функция от x?[0,1]. Если максимальные открытые интервалы, в которых значение ? постоянно, составляют в сумме дополнение замкнутого множества S, то мы говорим, что множество S является опорным для d?(x). Преобразование Фурье – Стилтьеса функции ? имеет вид

Самые гладкие функции ? дают наивысшую возможную скорость уменьшения . Обозначим через D_F наибольшее вещественное число, при котором, по меньшей мере, одна функция ?(x) с носителем S удовлетворяет равенству

при f?? для всех ?>0,

но ни одна ?(x) не удовлетворяет

при f?? для некоторых ?>0.

Выражение «a=O(b) при f??» означает здесь, что . Когда множество S заполняет весь интервал [0,1], величина D_F бесконечна. И напротив, когда S - одна – единственная точка, D_F=0. Интересно, что, когда S представляет собой множество нулевой меры Лебега, величина D_F конечна и не превышает размерности Хаусдорфа – Безиковича D этого множества. Неравенство D_F?D показывает, что фрактальные и гармонические свойства фрактального множества связаны между собой, но не обязательно совпадают.

Для доказательства того, что эти размерности могут различаться, предположим, что S - это множество на прямой, причем его размерность D равна D_F. Если рассматривать S как множество на плоскости, то размерность D не изменится, а D_F обратится в нуль.

Определение. В качестве удобного способа обобщения некоторых гармонических свойств S, предлагаю назвать величину D_F размерностью Фурье множества S.

Множества Сейлема. Равенство D_F=D описывает целую категорию множеств, называемых множествами единственности, или множествами Сейлема (см. [255, 248]).

Эмпирическое правило и эвристика. Интересующие нас в прецедентных исследованиях фракталы оказываются, как правило, множествами Сейлема. Поскольку величина D_F во многих случаях легко определяется из экспериментальных данных, можно использовать ее для оценки D.

Неслучайные множества Сейлема. Неслучайная канторова пыль является множеством Сейлема только тогда, когда коэффициент r удовлетворяет определенным теоретико-числовым свойствам.

Случайные множества Сейлема. Случайная канторова пыль является множеством Сейлема тогда, когда ее случайность достаточно велика для нарушения любой арифметической закономерности.

Оригинальный пример, предложенный самим Р. Сейлемом, очень сложен. В качестве альтернативного примера можно привести пыль Леви: в [253] показано, что спектр dL(x) (здесь L(x) - лестница Леви, см. рис. 399) в среднем почти совпадает со спектром дробной броуновской функции из прямой в прямую и представляет собой сглаженный вариант спектра функции Гаусса – Вейерштрасса.

В монографии [248] (теоремы 1, с. 165, и 5, с. 173) показано, что образ компактного множества S с размерностью ? относительно дробной броуновской функции из прямой в прямую с показателем H представляет собой множество Сейлема с размерностью D=min(1,?/H).

Канторова пыль не является множеством Сейлема. Троичная канторова пыль появилась в свое время на свет в результате поисков Георгом Кантором множества единственности (см. [616], I, с. 196), - поисков, которые не увенчались успехом. (Кантор тогда забросил гармонический анализ и – за неимением лучшего – создал теорию множеств.) Обозначим канторову лестницу через C(x). Спектр dC(x) имеет ту же общую форму, что и спектр dL(x), однако содержит, в отличие от последнего, некоторое количество случайно расположенных острых пиков неубывающего размера, из чего можно заключить, что D_F=0. См. [216].

Для теории множеств единственности наличие этих пиков играет решающую роль, однако на практике они вовсе не столь значимы. В большинстве случаев при оценке спектральной плотности пики игнорируются, и в расчет принимается только общая форма спектра, определяемая размерностью D.