РАЗМЕРНОСТЬ DС КРИТИЧЕСКИХ БЕРНУЛЛИЕВЫХ КЛАСТЕРОВ

Значение D_c непосредственно выводится либо из показателя D/D_c=E/D_c в формуле для Nr(M>?), либо из показателя Q=2D_c?D=2D_c?E в формуле для <M(R)>. Введя греческие буквы ?, ? и ? в обычном для данного контекста значении, получим E/D_c=??1 и 2D_c?E=2??. Отсюда

D_c=E/(??1)=E/(1+?^?1)

и D_c=1+(E??)/2.

Благодаря установленным физиками соотношениям между величинами ?, ? и ?, мы знаем, что вышеприведенные формулы для D_c эквивалентны. И наоборот, их эквивалентность имеет не только физические корни, поскольку следует из геометрических соображений.

Харрисон, Бишоп и Куинн [198], Киркпатрик [267] и Штауффер [536] независимо друг от друга получили одинаковое значение D_c. Они отталкиваются от свойств кластеров при p>p_крит и, как следствие, выражают полученный результат с помощью различных критических показателей (?, ?, v и ?). За их рассуждениями не стоит никакой конкретной фрактальной картины. Примером опасностей, таящихся в таком подходе (относительно которого я уже предостерегал ранее в этой же главе), может послужить тот факт, что он привел Стенли [533] к заключению: величины Q и D_c являются одинаково законными размерностями.

В случае E=2 численное значение D_c равно 1,89. Оно согласуется с эмпирическими свидетельствами, полученными с помощью определенной процедуры, знакомой нам по другим задачам. Возьмем некоторую величину r, которая, кстати, вовсе не обязана иметь вид 1/b, где b — целое число. Теперь возьмем большой вихрь, который в сущности представляет собой квадратную или кубическую решетку со стороной 1. Покроем его субвихрями со стороной r, сосчитаем количество N квадратов или кубов, пересекающих кластер, и вычислим приближенное значение размерности lnN/ln(1/r). Повторим процесс с каждым непустым субвихрем со стороной r, покрыв его субсубвихрями со стороной r₂. И так далее, по возможности большее число раз. Наиболее осмысленные результаты дает r, близкое к 1. В некоторых ранних экспериментах [391, 192] была получена смещенная оценка D⁺~1,77, однако последующее, более обширное, моделирование [537] подтвердило теоретическое значение D.

< Смещенное экспериментальное значение D⁺ очень близко к Q; на какой-то миг может даже показаться, что это подтверждает теоретические рассуждения [534] и [391], которые ошибочны в том, что объявляют величину Q размерностью. Мое внимание на эту ошибку обратил С. Киркпатрик. Еще одну, более раннюю, отличную от вышеприведенной, но также ошибочную оценку D можно найти в статье [293]. ?