ФРАКТАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ СЕЧЕНИЙ

Нуль – множество броуновской функции из прямой в прямую представляет собой горизонтальное сечение броуновской функции X(t). Применив правило, сформулированное в главе 23, можно предположить, что размерность нуль –множества составляет 3/2?1=1/2; как нам уже известно, так оно и есть. Другие приложения этого правила также обладают огромной эвристической ценностью, в чем мы убедимся немного позже. Правило это имеет и исключения, особенно в случае не изотропных фракталов. Например, вертикальное сечение броуновской функции из прямой в прямую – это всего лишь точка.

Рассуждая аналогичным образом, находим размерность линейного сечения броуновского следа из прямой в плоскость: 2?1=1, и это в самом деле так.

В более общем виде стандартное правило можно сформулировать следующим образом: если не считать особых конфигураций, коразмерности E?D при пересечении складываются. Следовательно, коразмерность пересечения k плоских броуновских следов равна k?0=0. В частности, можно ожидать, что точки самопересечения броуновского следа образуют множество с размерностью 2 (в самом деле, образуют). (И все же многочисленные точки самопересечения броуновского следа, равно как и сам броуновский след, не в состоянии заполнить плоскость.)

Правило сложения коразмерностей можно использовать для доказательства следующего утверждения (некоторое время назад мы уже говорили об этом): броуновское движение почти наверное не возвращается в свою начальную точку B(0)=0, однако почти наверное бесконечно часто проходит в произвольной окрестности этой точки. Для того чтобы придать нашим рассуждениям более общий вид и сделать их пригодными для последующего применения в главе 27 без дополнительной корректировки, обозначим размерность броуновского нуль – множества буквой H.

В моменты возвращения B(t) в 0 одновременно выполняются следующие равенства: X(t)=0 и Y(t)=0. Следовательно, эти моменты должны принадлежать пересечению нуль – множеств функций X(t) и Y(t), каковые множества не зависят друг от друга. Размерность пересечения равна 1?2H, что при H=? составляет D=0. Такое значение размерности можно расценивать как явный намек (но всего лишь намек, так как полное доказательство гораздо сложнее) на то, что B(t) почти наверное не возвращается в точку B(0)=0.

А теперь рассмотрим множество моментов времени, когда B(t) попадает в точку, расположенную внутри горизонтального квадрата со стороной 2? и центром в точке 0. Это множество можно приближенно представить как пересечение множеств моментов t, находящихся на расстоянии ?^1/H от точек нуль – множеств функций X(t) и Y(t), соответственно. Для каждого из этих множеств масса, заключенная во временн?м промежутке [0,t], пропорциональна ?^1/Ht_1?H, а вероятность того, что именно этот промежуток содержит нужный момент t, пропорциональна ?^1/Ht^?H. Следовательно, вероятность того, что момент tпринадлежит пересечению этих множеств, пропорциональна ?^2/Ht^?2H. Поскольку H=?, получаем ?^?t^?2Hdt=?; на этом основании в теореме, предложенной Борелем и Кантелли, делается вывод, что количество возвращений B(t) в квадрат с центром в точке 0 почти наверное бесконечно. Впрочем, можно сказать и «чуть ли не бесконечно». Как следствие, пустоты в ограниченных броуновских сетях начинают – медленно и с видимой неохотой – заполняться.